Mathematics for AI/Vectors/Lesson 05

Vector কী?

Vector হলো সংখ্যার একটা ক্রমবদ্ধ তালিকা, আবার একই সাথে একটা দিক আর দৈর্ঘ্যওয়ালা তীর। একজন ছাত্র, একটা ছবি বা একটা শব্দ, ML-এ সবকিছুই vector। আর category-কে vector বানানোর কৌশল: one-hot encoding।

সময়: 20 মিনিট
Exercise: 1
Challenge: 1
Quiz: 3 প্রশ্ন

সহজ ভাষায়

Vector হলো সংখ্যার একটা ক্রমবদ্ধ তালিকা:

\mathbf{v} = [3, 4]

একে দুইভাবে দেখা যায়, আর দুটো দৃষ্টিভঙ্গিই কাজের:

তালিকা হিসেবে: একটা ছাত্রের [study_hours, attendance] = [12.5, 88]। প্রতিটা অবস্থানের একটা অর্থ আছে।
তীর হিসেবে: মূলবিন্দু (0, 0) থেকে ডানে 3 আর উপরে 4 গেলে যে বিন্দু, সেখানে একটা তীর। এর একটা দিক আর একটা দৈর্ঘ্য আছে।

main.py

import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(4.5, 4.5))
for (x, y), color, name in [((3, 4), "#059669", "v = [3, 4]"), ((-2, 1), "#0f172a", "u = [-2, 1]")]:
    ax.quiver(0, 0, x, y, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color=color)
    ax.annotate(name, (x, y), textcoords="offset points", xytext=(6, 4))
ax.set_xlim(-3, 5)
ax.set_ylim(-1, 5)
ax.axhline(0, color="gray", linewidth=0.5)
ax.axvline(0, color="gray", linewidth=0.5)
ax.set_aspect("equal")
ax.grid(alpha=0.3)

সংখ্যার সংখ্যাকে বলে dimension। $[3, 4]$ হলো 2-dimensional। দুই-তিন dimension আঁকা যায়, কিন্তু অঙ্ক ১০০০ dimension-এও ঠিক একইভাবে কাজ করে।

কেন দরকার?

ML-এ সবকিছুই vector:

জিনিস	Vector হিসেবে	Dimension
একজন ছাত্র	[study_hours, attendance, math, ...]	feature-এর সংখ্যা
28×28-এর একটা সাদাকালো ছবি	৭৮৪টা pixel-এর উজ্জ্বলতা	784
একটা শব্দ (embedding)	অর্থ বহন করা সংখ্যা	শত থেকে হাজারের ঘরে
Model-এর weight	প্রতিটা feature-এর গুরুত্ব	feature-এর সংখ্যা

একবার কোনো জিনিস vector হয়ে গেলে vector-এর সব অঙ্ক তার উপর প্রয়োগ করা যায়: যোগ, দূরত্ব, মিল। এই module-এর বাকি lesson-গুলো সেই অঙ্ক নিয়ে।

NumPy-তে vector

main.py

import numpy as np
import pandas as pd

df = pd.read_csv("students_clean.csv")
features = ["study_hours", "attendance", "math", "science", "english"]

student = df[features].iloc[0].to_numpy()
print("প্রথম ছাত্র:", student)
print("dimension:", student.shape[0])

X = df[features].to_numpy()
print("পুরো dataset:", X.shape, "→ প্রতিটা row একটা ছাত্র-vector")

একটা dataset আসলে vector-এর একটা স্তূপ, প্রতি row-এ একটা করে। এই স্তূপকে বলে matrix (Module 3)।

Notation

বই আর paper-এ vector সাধারণত মোটা অক্ষরে ( $\mathbf{x}$ ) বা উপরে তীর দিয়ে ( $\vec{x}$ ) লেখা হয়। তার $i$ -তম component হলো $x_i$ :

\mathbf{x} = [x_1, x_2, \dots, x_n] \in \mathbb{R}^n

$\mathbb{R}^n$ মানে " $n$ টা বাস্তব সংখ্যার সব সম্ভাব্য vector"। Math-এ index সাধারণত 1 থেকে শুরু হয়, কিন্তু Python-এ 0 থেকে, তাই $x_1$ হলো x[0]।

Category-কে vector বানানো

district-এর মতো লেখাকে সংখ্যা বানানোর সহজ কিন্তু ভুল উপায় হলো Dhaka = 1, Sylhet = 2... এতে model ভাববে Sylhet হলো "দুই গুণ Dhaka"। সঠিক উপায় হলো one-hot encoding: প্রতিটা মানের জন্য একটা dimension।

              Barishal  Chattogram  Dhaka  Sylhet
"Dhaka"    →  [   0,        0,        1,      0   ]
"Sylhet"   →  [   0,        0,        0,      1   ]

Challenge-এ এটা নিজে বানাবে।

Exercise

ছাত্র থেকে vector

+20 XP

students_clean.csv-এর প্রথম ছাত্রের তিনটা নম্বর (math, science, english) দিয়ে একটা NumPy vector v বানাও, ঠিক এই ক্রমে।

তারপর: - dim — vector-টার dimension (কয়টা সংখ্যা), int - science — vector থেকে index দিয়ে বের করা science-এর নম্বর

solution.py

import numpy as np
import pandas as pd

df = pd.read_csv("students_clean.csv")

v = None
dim = None
science = None

print(v, dim, science)

Quiz

Q1Vector [3, 4]-এর dimension কত?
327
Q2[math, science, english] = [80, 70, 90] আর [70, 80, 90] কি একই vector?
হ্যাঁ, সংখ্যাগুলো একইনা — vector-এ ক্রম গুরুত্বপূর্ণ; প্রতিটা অবস্থানের নিজস্ব অর্থ আছে
Q3District-কে Dhaka = 1, Sylhet = 2, Chattogram = 3 সংখ্যা দিলে কী সমস্যা?
কোনো সমস্যা নেইModel ভাববে Chattogram 'বড়' আর Sylhet ঠিক Dhaka আর Chattogram-এর মাঝামাঝি — এমন ক্রম বা দূরত্ব যা আসলে নেইসংখ্যাগুলো বড় হয়ে যায়

0/3 answered

Challenge

Category থেকে vector — one-hot encoding

+50 XP

Model শুধু সংখ্যা বোঝে, কিন্তু district হলো লেখা ("Dhaka", "Sylhet", ...)। সমাধান one-hot encoding: প্রতিটা সম্ভাব্য মানের জন্য একটা dimension, আর যেটা সত্যি সেখানে 1, বাকি সব 0।

one_hot(values) লেখো: - categories — সব আলাদা মান, বর্ণানুক্রমে sorted list - matrix — NumPy array, shape (মানের সংখ্যা, category-র সংখ্যা), প্রতিটা row একটা one-hot vector (int) - Return (categories, matrix)

উদাহরণ: ["b", "a", "b"] → ["a", "b"], [[0, 1], [1, 0], [0, 1]]

তারপর students_clean.csv-এর district column দিয়ে districts, D বানাও।

solution.py

import numpy as np
import pandas as pd


def one_hot(values):
    pass


print(one_hot(["b", "a", "b"]))

df = pd.read_csv("students_clean.csv")
districts, D = None, None

বাস্তবে কোথায় ব্যবহার হয়?

pandas আর scikit-learn-এ one-hot encoding এক লাইনের কাজ:

main.py

import pandas as pd

df = pd.read_csv("students_clean.csv")
encoded = pd.get_dummies(df[["district", "school_type"]], dtype=int)
print(encoded.columns.tolist())
print(encoded.head(3))

Production pipeline-এ সাধারণত scikit-learn-এর OneHotEncoder ব্যবহার করা হয়। এটা training-এর সময় category-গুলো মনে রাখে, তাই নতুন data-তেও ঠিক একই column তৈরি হয়। একটা category যদি অনেক বেশি মান নেয় (যেমন হাজার হাজার শব্দ), তখন one-hot খুব লম্বা আর বেশিরভাগই 0 হয়ে যায়। সেখানেই আসে embedding: ছোট, ঘন (dense) vector যেটা অর্থও বহন করে।

Interview প্রশ্ন

Beginner: Vector কী? ML-এ একটা data point কীভাবে vector হয়?
Intermediate: One-hot encoding কী? Label encoding (1, 2, 3)-এর সমস্যা কী?
Advanced: উচ্চ-cardinality category (যেমন ১০,০০০ product ID) কীভাবে encode করবে? One-hot আর embedding-এর trade-off কী?

এরপর কী?

Vector হাতে আছে। এখন এদের নিয়ে অঙ্ক: যোগ, বিয়োগ, কোনো সংখ্যা দিয়ে গুণ। "গড় ছাত্র" কেমন, আর pass করা ছাত্র fail করা ছাত্র থেকে কোন দিকে আলাদা? পরের lesson: Vector যোগ ও scale।